Vamos partir do ponto que você ja possui um servidor web(apache2) com suporte a PHP rodando.
(se nao tiver,não se preocupe, nada q um apt-get install apache2 php5 não resolva ;] )

instale o php5-dev , vamos precisar dele para compilar o eaccelerator

apt-get install php5-dev

baixe os fontes do eaccelerator:

http://downloads.sourceforge.net/project/eaccelerator/eaccelerator/

descompacte:

unzip eaccelerator-0.9.6.1.zip

entre no diretorio:

cd eaccelerator-0.9.6.1

instale:

./configure
make
make install

diga para o PHP usar o eaccelerator:
insira dentro do arquivo: /etc/php5/apache2/php.ini e dentro do arquivo:/etc/php5/cli/php.ini


extension="eaccelerator.so"
eaccelerator.shm_size="16"
eaccelerator.cache_dir="/tmp/eaccelerator"
eaccelerator.enable="1"
eaccelerator.optimizer="1"
eaccelerator.check_mtime="1"
eaccelerator.debug="0"
eaccelerator.filter=""
eaccelerator.shm_max="0"
eaccelerator.shm_ttl="0"
eaccelerator.shm_prune_period="0"
eaccelerator.shm_only="0"
eaccelerator.compress="1"
eaccelerator.compress_level="9"


crie o diretório para armazenar o cache:

mkdir /tmp/eaccelerator
chmod 0777 /tmp/eaccelerator

Reinicie o apache:

/etc/init.d/apache2 restart

teste:
coloque uma pagina no seu servidor web com o conteudo:

Abra essa pagina e veja se consta a extensão do eAccelerator